АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
У школьников зачастую складывается впечатление о математике вне школьной алгебры и геометрии как о чем-то недосягаемом, что препятствует адекватной профессиональной ориентации и негативно сказывается на отношении к предмету. Данная программа состоит, помимо развивающих задач, из коротких, самых простых частей таких дисциплин, как теория чисел, комбинаторика (как расширение школьной алгебры), топология (как расширение школьной геометрии), знакомство с которыми расширяет математический кругозор школьников. Таким образом, цели программы состоят в следующем: формирование у школьников устойчивого представления о математике как о предмете, изучение которого только начинается школьной программой; развитие логического и аналитического мышления. Задачи: ознакомление школьников с элементарными разделами теории чисел, комбинаторики, топологии; формирование навыков исследовательской работы в области указанных дисциплин; формирование умения строить строгие математические рассуждения.Содержание программы:
блок-1. "Углубление базовых знаний по математике", 22 часа;
блок-2 "Расширение предметного кругозора по алгебре и геометрии", 56 часов
блок-3 "Интеллектуальные игры и соревнования", 18 часов. Интеграция программы в области других наук не предусмотрена.
Механизм реализации указан отдельно для блоков-1 и -2.
Программа в блоке-1 реализуется путем чтения лекций и последующего решения задач:
1. План лекции "Лист Мебиуса и его свойства".
1.1 . Обычная лента и лист Мебиуса.
1.2 . Раскрашивание и разрезание листа Мебиуса.
1.3 . Пояснение свойств листа Мебиуса.
1.4 . Край листа Мебиуса. Бутылка Клейна.
2. План лекции "Ошибочные рассуждения, софизмы, парадоксы".
2.1 . Рассуждения с делением на ноль.
2.2 . Рассуждения с обращением импликации.
2.3 . Софизмы с бесконечным суммированием.
2.4 . Парадоксы теории множеств
3. План лекции "Математические игры".
3.1 . "Черный ящик".
3.2 . "Каркас" и др.
3.3 . "Завалинка".
Программа в блоке-2 реализуется путем чтения лекций, последующего решения задач, дополнительного коллективного обсуждения тем, вызывающих затруднения.
1. План лекции "Алгоритм Евклида. Линейные диофантовы уравнения".
1.1 . НОД. Поиск НОД.
1.2 . Линейные комбинации в алгоритме Евклида.
1.3 . Задача о размене. Линейные диофантовы уравнения.
2. План лекции "ММИ".
2.1 . Задача о замощении квадрата уголками.
2.2 . Наглядная и строгая формулировки принципа ММИ.
3. План лекции "Основная теорема арифметики".
3.1 . Простые числа.
3.2 . Существование разложения.
3.3 . Линейное выражение НОД.
3.4 . Задача про ab делится на c.
3.5 . Единственность разложения.
4. План лекции "Комбинаторика: правила произведения и суммы".
4.1 . Правило произведения.
4.2 . Правило суммы.
4.3 . Задачи про перестановки.
5. План лекции "Сравнения".
5.1 . Остаток.
5.2 . Задачи про последнюю цифру.
5.3 . Понятие сравнений.
5.4 . Свойства сравнений.
6. План лекции "Комбинаторика: перестановки и сочетания".
6.1 . Перестановки.
6.2 . Сочетания.
6.3 . Бином Ньютона.
7. План лекции "Ошибочные рассуждения, софизмы, парадоксы".
7.1 . Рассуждения с делением на ноль.
7.2 . Рассуждения с неправильным извлечением корня.
7.3 . Рассуждения с обращением импликации.
7.4 . Софизмы с бесконечным суммированием.
7.5 . Парадоксы теории множеств.
8. План лекции "Зацикливание".
8.1 . Задача про кузнечика.
8.2 . Принцип зацикливания.
8.3 . Задача о бесконечно древнем Сатурне.
8.4 . Принцип зацикливания назад.
8.5 . Кубик Рубика, числа Фибоначчи.
9. План лекции "Графы: основные понятия".
9.1 . Задача о межпланетных маршрутах.
9.2 . Определение графа (не самое строгое).
9.3 . Понятия вершины, ребра, степени вершины.
9.4 . Понятия пути, цикла, связности.
10. План лекции "Графы: деревья, плоские графы. Формула Эйлера".
10.1 . Понятие дерева.
10.2 . Понятие плоского графа.
10.3 . Связь с многоугольниками.
10.4 . Доказательство формулы Эйлера с оскелечиванием.
10.5 . Справедливость формулы Эйлера для сферы.
Примерные темы поисковых работ (в скобках указано количество человек в бригаде.)
Бригада-1 (1-2) Делимость чисел Фибоначчи.
Бригада-2 (2-3) Элементарное доказательство постулата Бертрана.
Бригада-3 (1-2) Нижняя оценка функции р(n).
Бригада-4 (1-2) Критерии простоты числа.
Бригада-5 (1-3) Теорема Бойяи-Гервина.
Бригада-6 (1-2) Треугольник на клетчатой бумаге.
Бригада-7 (1-3) Вписанный многоугольник, имеющий максимальную площадь и периметр.
Бригада-8 (1-2) Теорема Хелли.
Расписание занятий
| День | Тема занятия | Часов |
| 1 | Лекция. Алгоритм Евклида. Линейные диофантовы уравнения Практика. Задачи на применение алгоритма Евклида Лекция. ММИ Практика. Задачи на применение ММИ | 4 |
| 2 | Лекция. Основная теорема арифметики Лекция. Комбинаторика: правила произведения и суммы Практика. Задачи по теме "Комбинаторика" | 4 |
| 3 | Лекция. Сравнения Практика. Задачи на применение сравнений Лекция. Комбинаторика: перестановки и сочетания Практика. Задачи по теме "Комбинаторика" | 4 |
| 4 | Практика. Задачи по пройденным темам. Лекция. Ошибочные рассуждения, софизмы, парадоксы Практика. Задачи на поиск ошибки в рассуждениях | 4 |
| 5 | Лекция. Зацикливание Практика. Задачи на применение принципа зацикливания Практика. Задачи по пройденным темам | 4 |
| 6 | Внутрисекционная олимпиада | 4 |
| 7 | Практика. Обсуждение результатов олимпиады и задач, вызвавших затруднения Практика. Задачи по теме "Можно ли разрезать?" Лекция. Графы: основные понятия Практика. Задачи по теме "Графы" | 4 |
| 8 | Практика. Задачи по теме "Можно ли разрезать?" Лекция. Графы: деревья, плоские графы. Формула Эйлера Практика. Задачи по теме "Графы" | 4 |
| 9 | Практика. Разные задачи по геометрии Практика. Задачи по пройденным темам | 4 |
| 10 | Практика. Обсуждение задач, вызвавших затруднения, и тем поисковых работ Практика. Подготовка работ к заключительной конференции. Консультации | 4 |
| 11 | Практика. Математические игры Практика. Подготовка работ к заключительной конференции. Консультации | 4 |
| 12 | Подготовка работ к заключительной конференции | 6 |
| 13 | Заключительная научн.-практ. Конференция НОУ | 6 |