ГЕОМЕТРИЯ И КОМБИНАТОРИКА. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Романов Владимир Анатольевич, начальник отдела информатики Омского филиала "Эталонбанк" (ЗАО)Определение экстремальных свойств функций является одним из важнейших предметов изучения математического анализа. Не всегда вопрос из этой области имеет наглядное представление даже для простых функций, поэтому многие школьники испытывают трудности, сталкиваясь с подобными задачами. Основная часть программы посвящена геометрическим задачам, тесно связанными с алгеброй, комбинаторикой, теорией чисел и другими областями математики. Опыт решения этих задач пригодится для успешного участия в математических олимпиадах. Несколько последних занятий блока знакомят школьников с комбинаторными свойствами графов и многогранников. Затрагиваемые здесь темы предложены школьникам для собственных исследований.
Цель и задачи программы:
блок-1 - дополнить и систематизировать имеющиеся у школьников знания об экстремальных свойствах квадратичной функции и экстремальных значениях функций с ограничениями на аргументы;
блок-2 - расширить математический кругозор школьников, показать тесную взаимосвязь различных областей математики, повысить интерес к самостоятельным исследованиям. Содержание программы: блок-1 "Углубление базовых знаний по экстремальным свойствам функций", 22 часа; блок-2 "Геометрия и комбинаторика", 56 часов;
блок-3 "Интеллектуальные игры и соревнования", 18 часов.
Содержание лекционного курса программы следующее. Блок-1 "Экстремальные свойства функций" - программа блока основана на материалах занятий, проведенных Чернявской И. в Летней академии - 2000 г., секция "Математика-8".
Лекция : "Квадратичная функция и ее экстремальные свойства" 1 ч.
Практика: Решение задач 1 ч.
Лекция : "Неравенства и экстремумы (Неравенство Коши)" 1 ч.
Практика: Решение задач 1 ч.
Практика: Решение задач 1 ч.
Практика: Решение задач на экстремум геометрическим способом 1 ч.
Тематика выполнения научно-исследовательских (поисковых) работ:
Бригада-1. Системы точек, отрезков, прямых и окружностей
Бригада-2. Различные геометрии
Бригада-3. Раскраска фигур
Бригада-4. Многоугольники с вершинами в узлах решетки
Бригада-5. Расстановки фигур на шахматной доске, удовлетворяющие определенным условиям
Бригада-6. Поиск гамильтоновых циклов на некоторых графах
Бригада-7. Графы многогранников
Расписание занятий в блоке-2.
| День | Тема занятия | Часов |
| 1 | Лекция: "Наибольшее и наименьшее значение. Геометрические неравенства" / практика | 4 |
| 2 | Лекция: "Системы точек и отрезков. Индукция и комбинаторика" / практика | 4 |
| 3 | Лекция: "Делимость, инварианты, раскраски, разрезания" / практика | 4 |
| 4 | Лекция: "Выпуклые и невыпуклые многоугольники" / практика | 4 |
| 5 | Лекция: "Эйлерова характеристика многоугольников, целочисленные решетки" / практика | 4 |
| 6 | Лекция: "Комбинаторные свойства многогранников" / практика | 4 |
| 7 | Лекция: "Различные геометрии" / практика | 4 |
| 8 | Лекция: "Решение задач при помощи теории графов" / практика | 4 |
| 9 | Лекция: "Обходы, Эйлеровы и гамильтоновы циклы" / практика | 4 |
| 10 | Внутрисекционная олимпиада | 4 |
| 11 | Разбор задач олимпиады, Работа над проектами | 4 |
| 12 | Подготовка работ к заключительной конференции | 6 |
| 13 | Заключительная научн.-практ. Конференция НОУ | 6 |